Convex Polygons From Pairs of Polyiamonds

Given two polyiamonds, how few copies of them can be joined to form a convex shape? Such a shape must be a triangle, quadrilateral, pentagon, or hexagon.

Here I show minimal known convex polygons formed by pairs of polyiamonds with 4 through 7 cells. If you find a smaller solution or solve an unsolved case, please write.

At Math Magic for April 1999, Erich Friedman considers for various plane shapes the set of values of n for which n copies of the shape can form a convex shape. Ed Pegg Jr. also considers this problem at Dissections of Convex Figures.

See also Minimal Convex Polyiamond Tilings.

  • Tetriamonds and Tetriamonds
  • Tetriamonds and Pentiamonds
  • Pentiamonds and Pentiamonds
  • Tetriamonds and Hexiamonds
  • Pentiamonds and Hexiamonds
  • Hexiamonds and Hexiamonds
  • Tetriamonds and Heptiamonds
  • Pentiamonds and Heptiamonds
  • Hexiamonds and Heptiamonds
  • Heptiamonds and Heptiamonds
  • Tetriamonds and Tetriamonds

     
    4 2
    4 5
    2 5

    Tetriamonds and Pentiamonds

     
    2 3 2
    3 3 3
    3 4 14
    4 3 3

    Pentiamonds and Pentiamonds

     
    3 3 3
    3 3 4
    3 3 3
    3 4 3

    Tetriamonds and Hexiamonds

     
    2 5 3
    2 5 4
    ? 7 ?
    3 5 3
    5 2 4
    3 3 3
    3 5 3
    5 5 ?
    6 5 ?
    3 2 ?
    3 3 3
    5 12 ?

    Pentiamonds and Hexiamonds

     
    2 4 4 4
    2 3 4 3
    6 4 ? 4
    3 2 3 8
    4 2 2 4
    3 4 3 2
    3 6 7 2
    4 3 10 6
    6 3 22 ?
    4 3 2 ?
    3 2 4 6
    4 5 ? 5

    Hexiamonds and Hexiamonds

     
    5 ? 3 8 3 3 12 8 3 3 ?
    5 7 7 4 4 4 7 7 4 6 8
    ? 7 8 3 4 ? ? ? 4 12 ?
    3 7 8 8 4 4 8 12 4 2 4
    8 4 3 8 5 8 4 3 13 3 8
    3 4 4 4 5 2 6 7 21 4 17
    3 4 ? 4 8 2 22 30 25 4 ?
    12 7 ? 8 4 6 22 ? 8 4 ?
    8 7 ? 12 3 7 30 ? ? 3 ?
    3 4 4 4 13 21 25 8 ? 3 3
    3 6 12 2 3 4 4 4 3 3 7
    ? 8 ? 4 8 17 ? ? ? 3 7

    Tetriamonds and Heptiamonds

     
    2 3 4
    2 3 6
    8 4 ?
    2 5 4
    2 4 6
    2 3 4
    4 4 5
    14 4 ?
    4 4 36
    4 2 18
    5 11 ?
    2 2 2
    6 4 ?
    4 4 ?
    5 6 ?
    4 2 4
    5 6 ?
    4 6 30
    6 4 ?
    4 7 ?
    8 8 ?
    10 ? ?
    4 7 ?
    3 3 7

    Pentiamonds and Heptiamonds

     
    2 4 3 3
    3 4 3 6
    7 4 20 8
    2 3 5 3
    2 4 4 4
    3 4 3 ?
    4 3 4 3
    10 4 8 3
    7 5 4 4
    4 2 2 ?
    6 4 12 ?
    3 3 2 ?
    14 4 6 ?
    9 4 6 12
    5 4 20 4
    4 2 2 4
    7 6 6 ?
    5 4 18 ?
    9 5 4 ?
    4 4 ? 6
    9 5 ? ?
    11 4 7 ?
    4 3 6 6
    4 6 4 4

    Hexiamonds and Heptiamonds

     
    2 4 6 5 4 3 3 8 17 4 5 5
    4 3 6 8 3 4 6 8 5 10 6 5
    9 7 ? 8 3 4 8 15 27 10 8 ?
    5 6 ? 10 12 8 8 12 ? ? 8 ?
    3 5 6 6 8 5 6 5 8 ? 5 ?
    4 3 6 6 18 2 6 8 ? ? 6 5
    4 5 7 10 2 3 6 12 ? ? 6 ?
    ? 6 ? 15 24 6 ? 15 ? 2 6 ?
    8 5 8 10 4 5 7 8 11 ? 6 ?
    8 6 3 29 ? 10 18 6 3 ? 6 6
    14 17 ? 6 4 13 22 ? ? ? 6 ?
    3 2 3 3 18 3 3 4 ? ? 3 3
    24 7 2 ? ? 12 ? 12 ? ? 10 ?
    16 6 12 18 18 6 22 ? ? ? 8 ?
    ? 7 ? 6 3 9 12 ? ? 4 10 ?
    6 6 3 10 16 5 6 6 3 ? 6 ?
    14 12 15 15 4 8 20 ? ? ? 9 ?
    11 7 ? 12 15 10 23 ? ? ? 8 ?
    ? 6 8 10 24 14 28 ? ? ? 9 ?
    6 7 ? 10 6 10 10 ? ? ? 6 ?
    ? 10 ? 8 6 14 ? ? ? 15 14 ?
    ? 28 ? 40 15 10 54 ? ? ? 4 ?
    6 7 8 5 6 10 10 24 ? 4 8 ?
    5 5 4 10 6 6 10 ? ? ? 10 ?

    7 Tiles or Less

    8 to 14 Tiles

    15 Tiles or More

    Heptiamonds and Heptiamonds

     
    6 16 4 3 4 4 16 10 4 7 4 57 28 5 4 16 4 22 10 30 ? 6 10
    6 8 7 6 10 5 4 14 6 10 2 14 10 6 6 10 6 4 14 18 ? 6 30
    16 8 ? 6 27 14 ? 4 4 10 4 2 4 ? 4 14 32 16 ? ? ? 6 ?
    4 7 ? 12 6 5 ? 24 34 ? 2 ? 10 ? 5 34 66 16 ? ? ? 24 ?
    3 6 6 12 6 6 ? 6 ? 6 4 ? 6 6 18 4 16 16 8 6 ? 24 ?
    4 10 27 6 6 4 ? ? 4 ? ? ? ? 4 56 4 6 ? ? ? ? 6 2
    4 5 14 5 6 4 ? 4 4 ? 4 ? 4 16 2 ? 24 4 10 42 ? 10 6
    16 4 ? ? ? ? ? ? 6 ? 2 ? 4 ? 42 ? ? ? ? ? ? 18 ?
    10 14 4 24 6 ? 4 ? 4 ? 4 ? ? 16 4 16 ? 6 ? ? ? 24 54
    4 6 4 34 ? 4 4 6 4 4 ? ? 30 24 78 4 ? ? 42 16 ? 16 ?
    7 10 10 ? 6 ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? ? ? ? ? ? 42 ?
    4 2 4 2 4 ? 4 2 4 ? ? ? ? 4 4 ? 4 ? 4 5 ? 4 4
    57 14 2 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 4 ? 10 ? ? ? 4 ? 10 ?
    28 10 4 10 6 ? 4 4 ? 30 ? ? 4 ? 64 34 ? ? ? ? ? 42 12
    5 6 ? ? 6 4 16 ? 16 24 ? 4 4 ? 3 ? ? 74 ? ? ? 42 ?
    4 6 4 5 18 56 2 42 4 78 4 4 ? 64 3 4 ? 18 10 12 ? 10 ?
    16 10 14 34 4 4 ? ? 16 4 ? ? 10 34 ? 4 ? ? ? ? ? ? ?
    4 6 32 66 16 6 24 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 42 ? ? ? ? ?
    22 4 16 16 16 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 74 18 ? 42 ? ? ? 30 ?
    10 14 ? ? 8 ? 10 ? ? 42 ? 4 ? ? ? 10 ? ? ? ? ? ? ?
    30 18 ? ? 6 ? 42 ? ? 16 ? 5 4 ? ? 12 ? ? ? ? ? 42 ?
    ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
    6 6 6 24 24 6 10 18 24 16 42 4 10 42 42 10 ? ? 30 ? 42 ? ?
    10 30 ? ? ? 2 6 ? 54 ? ? 4 ? 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

    7 Tiles or Less

    8 to 16 Tiles

    17 to 32 Tiles

    33 Tiles or More

    Last revised 2018-06-29.


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